BLOQUE I

ESTAS ACTIVIDADES SON HECHAS POR EL ALUMNO:
EDGAR DE JESÚS MARTINEZ GARCÍA       NUM DE LISTA: 21
SALÓN: 206    COBAO 04 EL TULE
UTILIZAS ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y RELACIONES METRICAS


ÁNGULOS

Son la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen vertice. Suelen medirse en unidades tales como el radian, el grado sexagesimal o centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometria plana) o curvas (trigonometria esferica). Se denomina angulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta

CLASIFICACIÓN:

Tipos de ángulos	Descripción
Ángulo agudo	un ángulo de menos de 90°
Ángulo recto	un ángulo de 90°
Ángulo obtuso	un ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llano	un ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavo	un ángulo de más de 180°

LOS ANGULOS POR SU POCICION


Ángulos consecutivos son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro.

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.
LOS ÁNGULOS 1 Y 3 SON IGUALES, LOS ÁNGULOS 2 Y 4 SON IGUALES

ANGULOS ENTE DOS PARALELAS Y UNA SECANTE

Al trazar dos lineas pueden ocurrir dos situaciones la primera, que se cruzen en un punto;la segunda por mas que se prolonguen no lleguen a unirse

DOS RECTAS SITUADAS EN EL MISMO PLANO

 QUE NO  SE CORTAN SON PARALELAS

Al cortar dos rectas con una secante se forman ocho angulos, los 

cuales se presentan por las letras minusculas;estas se clasifican por

 parejas de acuerdo con la posicion que tienen con la secante. 

1. angulos colaterales internos;son angulos que se encuentran del 

mismo lado de la secante y dentro de las rectas.                     

LOS ANGULOS COLATERALES SON: 

        <c y <f; <e y <d.

2 los angulos colaterales externos son aquellos que se encuentran 

del mismo lado de la secante y fuera de las rectas.                                                              

                                                    LOS ANGULOS COLATERALES
 EXTERNOS

                                                                 SON:<c y <g;<d y <h           

 3 los angulos correspondientes son los ángulos que se encuentran en un mismo lado de la secante formando pareja, un interno con externo                                           LOS ANGULOS CORRESPONDIENTES

                                                                                                       SON:<a y <e; <c y <g;                                                        

                                                                                                                <b y <f; <d y <h

 

4 los angulos  alternos internos: son los angulos internos en unoy otro lado de la secante.

LOS ANGULOS ALTERNOS INTERNOS SON:

                                                                                    <e y <d;<c y <f.

5 los angulos alternos externos son los  angulos exteriores que se encunetran en uno y otro lado de la secante                                                              LOS ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS SON:

                                                                                                   <a y <h; <b y <g.

ANGULOS  POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS.

DOS ANGULOS SON COMPLEMENTARIOS SI LA SUMA DE SUS ANGULOS ES IGUAL A 90°

DOS ANGULOS SON SUPLEMENTARIOS SI LA SUMA DE SUS ANGULOS ES IGUAL A 180°

* TRIÁNGULOS* 

 MEDIDA DE SUS ANGULOS

TRIANGULO ES UNA FIGURA SIMPLE CERREDA FORMADA POR TRES SEGMENTOS NO LINEALES.ES UN POLIGONO DE TRES LADOS. LA SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS ANGULOS INTERIORES ES IGUAL A 180°

TRIANGULO EQUILATERO

ES UN TRIANGULO CON TRES LADOS CONGRUENTES.

TIANGULO ISOSELES

ES UN TRIANGULO QUE TIENE 2 LADOS CONGRUENTES.

TRIANGULO ESCALENO

ES UN TRIANGULO QUE NO TIENE NINGUN PAR DE LADOS CONGRUENTES.

CLASIIFICACION DE TRIANGULOS SEGUN SUS ANGULOS

1) Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto.

Tienes a continuación  ejemplo de triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos.

Teorema de Pitágoras: Al estudiar el triángulo rectángulo hemos de conocer perfectamente este teorema que nos dice:

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.Siendo a y b las longitudes de los catetos los catetos, y c la longitud de la hipotenusa podemos escribir:

2) Triángulos acutángulos, si tienen TRES ángulos agudos(menores de 90º).

En el dibujo siguiente tienes  triángulos acutángulos.

3) Triángulos obtusángulos, si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º).

En la siguiente figura tienes  triángulos obtusángulos

PROPIEDADES RELATIVAS DE LOS TRIANGULOS

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

2La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°

A + B + C =180º

3 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α = A + B  

              α = 180º - C 

4En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

 5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

PROBLEMAS

(a) Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 5 y 6 cm., respectivamente.

El resultado es de 7,81 cm. porque la suma de los cuadrados de los catetos es  de donde 

(b) Sabiendo que la hipotenusa de un triángulo rectángulo vale 10 cm., y uno de los catetos 8 cm.

¿Cuál es el valor del otro cateto?

El resultado es de 6 cm. Porque 

Bloque II

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

CRITERIOS SE CONGRUENCIA

Los criterios de congruencia en los triangulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL

Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.

a ≡ a’

b ≡ b’

c ≡ c 

b ≡ b’

c ≡ c’

α ≡ α’

Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado

α ≡ α’

b = b´ 

PROBLEMAS:

This is it!

Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.

Bloque III

PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS Y TEOREMA DE PITAGORAS

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales) Es decir:

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A )

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes.

Es decir, en los triángulos ABC y DEF: <A = <D y < B = < E

Entonces ABC DEF

CRITERIO lado - ángulo - lado (L .A .L)

Dos triángulos son semejantes si tienen

Dos lados proporcionales y congruentes

El ángulo comprendido entre ellos.

CRITERIO lado - lado - lado (L. L. L. )

Dos triángulos son semejantes si tienen sus

Tres lados respectivamente proporcionales.

Es decir, en los triángulos ABC y DEF:

Si 

Entonces ABC DEF

EJECICIOS:

1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2. Si los triángulos ABC y A"B"C" tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

• 
  
  
  
  
  
  Los Teoremas de Tales
  
  
  El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triangulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.
  
  
  Un ejemplo es dividiendo un segmento en varias partes iguales
  
  
  
  
  

  Segundo teorema 

  
  

  El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: 

  Sea C un punto de la circunferencia de diámetro , distinto de A y de B. Entonces el ángulo  , es recto. 

  
  

  
  

  
  

   

  
  

  
  

  Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia. 

  
  

  Demostración: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el radio de la circunferencia. Por lo tanto  on isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene: 

  
  

   

  
  

  Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa² = C² + C², es decir AB²=CA²+CB². 

  En conclusión se forma un triángulo rectángulo. 

  
  

  
  

  
  

  TEOREMA DE PITAGORAS

  
  

  El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

  
  

  "En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

  
  

  

  
  

  

  
  

  
  

  Solo se cumple en triángulos rectángulos.

  AC =  cateto   =  a

  BC =  cateto   =  b                         

  AB =  hipotenusa  =  c

           La expresión matemática que representa este Teorema es:

  hipotenusa ²   =   cateto ²    +   cateto ²

          c²    =     a²    +    b²PROBLEMAS:

  Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 8 cm y su hipotenusa mide 2cm mas que su otro cateto, Calcular la medida de cada lado.

  
  

  
  

  
  

  8² + x² = (2+x)²

  
  

  
  

  
  

  64 + x² = 4 +4x + x²

  
  

  
  

  
  

  60 = 4x

  
  

  
  

  
  

  x= 60/4

  
  

  
  

  
  

  x= 15