Bloque III

PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS Y TEOREMA DE PITAGORAS

Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus lados homólogos son proporcionales. (Lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales) Es decir:

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

CRITERIO ángulo - ángulo ( A - A )

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de un segundo triángulo, entonces estos dos triángulos son semejantes.

Es decir, en los triángulos ABC y DEF: <A = <D y < B = < E

Entonces ABC DEF

CRITERIO lado - ángulo - lado (L .A .L)

Dos triángulos son semejantes si tienen

Dos lados proporcionales y congruentes

El ángulo comprendido entre ellos.

CRITERIO lado - lado - lado (L. L. L. )

Dos triángulos son semejantes si tienen sus

Tres lados respectivamente proporcionales.

Es decir, en los triángulos ABC y DEF:

Si 

Entonces ABC DEF

EJECICIOS:

1. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.

2. Si los triángulos ABC y A"B"C" tienen iguales los ángulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.

3. Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

• 
  
  
  
  
  
  Los Teoremas de Tales
  
  
  El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triangulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales.
  
  
  Un ejemplo es dividiendo un segmento en varias partes iguales
  
  
  
  
  

  Segundo teorema 

  
  

  El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: 

  Sea C un punto de la circunferencia de diámetro , distinto de A y de B. Entonces el ángulo  , es recto. 

  
  

  
  

  
  

   

  
  

  
  

  Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia. 

  
  

  Demostración: OA = OB = OC = r, siendo O el punto central del círculo y r el radio de la circunferencia. Por lo tanto  on isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es equivalente a 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene: 

  
  

   

  
  

  Además, la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos iguales. Hipotenusa² = C² + C², es decir AB²=CA²+CB². 

  En conclusión se forma un triángulo rectángulo. 

  
  

  
  

  
  

  TEOREMA DE PITAGORAS

  
  

  El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

  
  

  "En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

  
  

  

  
  

  

  
  

  
  

  Solo se cumple en triángulos rectángulos.

  AC =  cateto   =  a

  BC =  cateto   =  b                         

  AB =  hipotenusa  =  c

           La expresión matemática que representa este Teorema es:

  hipotenusa ²   =   cateto ²    +   cateto ²

          c²    =     a²    +    b²PROBLEMAS:

  Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 8 cm y su hipotenusa mide 2cm mas que su otro cateto, Calcular la medida de cada lado.

  
  

  
  

  
  

  8² + x² = (2+x)²

  
  

  
  

  
  

  64 + x² = 4 +4x + x²

  
  

  
  

  
  

  60 = 4x

  
  

  
  

  
  

  x= 60/4

  
  

  
  

  
  

  x= 15